Intersecções de retas com sólidos

Nos prismas, o raciocínio é semelhante ao dos restantes poliedros, uma vez que todas as suas faces são planas. A reta, ao intersectar o sólido, atravessa normalmente duas faces laterais, originando dois pontos de interseção: um de entrada e outro de saída. Para determinar esses pontos com rigor, é essencial analisar cuidadosamente as projeções da reta e do prisma. Deve-se identificar, em primeiro lugar, em que faces a reta incide e, de seguida, localizar os pontos exatos onde ocorre a interseção em cada projeção. Quando o prisma possui bases situadas em planos horizontais, frontais ou de perfil, algumas faces podem apresentar-se em posições mais favoráveis, facilitando a leitura e a construção dos pontos de interseção. 

Nas pirâmides, a determinação das interseções de uma reta exige maior atenção, uma vez que o sólido é formado por faces laterais triangulares que convergem num vértice. A reta pode intersectar a base, uma ou mais faces laterais, ou apenas tocar o sólido num ponto, dependendo da sua posição no espaço. O primeiro passo consiste em identificar corretamente quais são as faces da pirâmide que a reta atravessa. Esta análise deve ser feita com base nas projeções, observando o percurso da reta e verificando onde esta entra e sai do sólido. Devido à inclinação das faces laterais, nem sempre é fácil determinar diretamente os pontos de interseção apenas pelas projeções. Por esse motivo, recorre-se frequentemente a um plano auxiliar que contenha a reta. Esse plano intersecta a pirâmide segundo uma secção plana, normalmente um polígono, o que permite reduzir o problema tridimensional a uma situação mais simples. A partir dessa secção, torna-se mais fácil identificar os pontos onde a reta intersecta o sólido, sendo depois necessário projetar corretamente esses pontos nas duas projeções.

Determinar a interseção de uma reta com um cone implica encontrar os pontos exatos onde a reta fura a superfície lateral oblíqua do sólido. Para tal, recorre-se ao método do plano secante, que consiste em criar um plano auxiliar que contenha, em simultâneo, a reta dada e o vértice do cone. Para definir este plano, traça-se uma reta auxiliar que passe pelo vértice e concorra com a reta dada. Em seguida, determina-se a interseção deste plano secante com o plano da base do cone, obtendo-se o seu traço (horizontal ou frontal, dependendo do plano onde a base assenta). Onde este traço cruzar o contorno da base circular do cone, marcam-se dois pontos que, ao serem unidos ao vértice, definem as geratrizes de interseção na superfície lateral. É precisamente sobre estas geratrizes que se encontram os verdadeiros pontos de entrada e de saída, bastando identificar nas projeções os locais onde a reta original as cruza, e usar linhas de chamada para os encontrar na outra projeção. Por fim, aplica-se o estudo da visibilidade: a parte da reta exterior ao sólido é visível e desenhada a traço contínuo (exceto se ficar oculta pelo contorno aparente do próprio cone), enquanto o troço interior à superfície, compreendido entre os pontos de entrada e de saída, é sempre invisível e representado a tracejado.

A determinação dos pontos de interseção de uma reta com um cilindro exige o recurso ao método do plano secante, dado que a superfície lateral do sólido é curva. O processo consiste em passar pela reta dada um plano auxiliar que seja simultaneamente paralelo às geratrizes do cilindro (ao contrário do cone, onde o plano tem de passar pelo vértice). Para definir este plano, traça-se uma reta auxiliar que intersete a reta original e que seja paralela à direção do eixo do cilindro. De seguida, determina-se o traço deste plano secante no plano onde assenta a base do cilindro. Onde este traço intersetar a diretriz (o contorno da base), marcam-se dois pontos. A partir destes pontos da base, traçam-se as geratrizes de interseção na superfície lateral, que serão obrigatoriamente paralelas às restantes geratrizes do cilindro. É precisamente sobre estas duas linhas que se localizam os verdadeiros pontos de entrada e de saída, bastando identificar nas projeções os locais onde a reta original as cruza e usar linhas de chamada para as completar. Por fim, aplica-se a regra da visibilidade: a parte da reta exterior ao sólido é visível (traço contínuo), a menos que fique oculta pelo contorno aparente do próprio cilindro, enquanto o troço interior, compreendido entre os pontos de entrada e de saída, é sempre invisível e representado a tracejado.

Para determinar os pontos de interseção de uma reta com uma esfera, recorre-se também ao método do plano secante, utilizando preferencialmente um plano projetante (como um plano vertical ou de topo) que contenha a reta dada. Como a secção produzida por qualquer plano numa esfera é sempre um círculo, e esse círculo se projeta frequentemente como uma elipse (o que impossibilita a leitura direta dos pontos), o método mais rigoroso exige o rebatimento desse plano. Primeiro, determina-se o centro e o raio da secção circular resultante do corte do plano na esfera. Em seguida, rebate-se o plano secante (juntamente com a reta e o centro da secção) para que a secção circular fique paralela aos planos de projeção e surja em verdadeira grandeza, desenhando-se aí um círculo perfeito. É nesta vista rebatida que se consegue identificar com exatidão onde a reta cruza a circunferência da secção, marcando os verdadeiros pontos de entrada e de saída. Depois, efetua-se o contra-rebatimento destes pontos para os localizar nas projeções frontal e horizontal da reta original. Por fim, estuda-se a visibilidade: a parte da reta exterior ao sólido é representada a traço contínuo (exceto nos troços que fiquem atrás do contorno aparente da esfera), e o segmento interior, compreendido entre os dois pontos de interseção, é sempre considerado invisível e traçado a tracejado.