Sombras de Solidos

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Pirâmides 

Sombras, própria e projetada, de pirâmides Numa pirâmide, a determinação das sombras passa por encontrar a sombra projetada do seu vértice e a sombra da sua base. Unindo a sombra do vértice aos extremos da sombra da base, obtemos o contorno da sombra projetada no(s) plano(s) de projeção. A sombra própria da pirâmide (as faces que não recebem luz direta) é descoberta através deste contorno exterior: as arestas do sólido que deram origem a esse contorno projetado formam a Linha Separatriz, que divide exatamente as faces iluminadas das faces em sombra própria. Se a base estiver num plano horizontal ou frontal, a determinação da sombra da base é imediata (coincide com a própria base), bastando apenas determinar a sombra do vértice e traçar as respetivas linhas tangentes ao contorno da base.

O teu objetivo: Encontrar a sombra do vértice, a sombra da base e uni-las.

1. Sombra da Base: Começa por achar a sombra de todos os vértices da base. Se a base estiver assente no Plano Horizontal (PH) ou Plano Frontal (PF), a sombra da base coincide com a própria base (é mais fácil!). Se a base for oblíqua/passante, tens de achar a sombra de cada ponto da base no mesmo plano (tudo no PH ou tudo no PF, usando sombras virtuais se necessário).

2. Sombra do Vértice: Determina a sombra real do vértice (Vs​) usando os raios luminosos a 45º.

3. Sombra Projetada (O Contorno): Une a sombra do vértice (Vs​) aos vértices mais "de fora" (extremos) da sombra da base. O polígono que fica desenhado por fora é a sombra projetada. Pinta/traceja essa mancha.

4. Sombra Própria (Linha Separatriz): Olha para o contorno da sombra projetada que acabaste de desenhar. Quais foram as arestas reais da pirâmide que geraram essas linhas de fora? Essas arestas são a tua Linha Separatriz. As faces que ficam entre essas arestas (na parte de "trás" da luz) são as que vais sombrear na própria pirâmide.

Prismas e Paralelepípedos

Sombras, própria e projetada, de prismas e paralelepípedos Nos prismas (incluindo o paralelepípedo retângulo), a sombra projetada resulta da projeção dos vértices das suas duas bases. Unindo os pontos extremos da sombra de uma base aos pontos correspondentes da sombra da outra base, obtemos o polígono envolvente da sombra projetada. É precisamente este contorno poligonal exterior que nos dita a sombra própria do sólido: as arestas reais do prisma que geraram esse contorno definem a Linha Separatriz. Assim, facilmente identificamos quais as faces laterais e bases que estão iluminadas e quais as que se encontram em sombra própria. Em prismas oblíquos, o rigor deve ser redobrado ao projetar as bases, mas o princípio do polígono envolvente mantém-se.

O teu objetivo: Encontrar a sombra de todos os vértices e desenhar a "capa" exterior.

1. Sombra das Bases: Determina a sombra de todos os vértices da base inferior e de todos os vértices da base superior. (Tem o cuidado de rebater as sombras virtuais para o mesmo plano para poderes unir os pontos corretamente).

2. Sombra Projetada (Polígono Envolvente): Vais ficar com uma "nuvem" de pontos de sombra. Agora, com a régua, une apenas os pontos que formam o contorno mais exterior de todos (o polígono envolvente). Nenhuma linha de sombra pode ficar de fora deste perímetro. Pinta o interior desse polígono.

3. Sombra Própria: Tal como nas pirâmides, verifica quais foram as arestas do prisma que deram origem a esse contorno exterior. Essas arestas são a tua Linha Separatriz. Sombreia as faces do sólido que ficam "fechadas" entre essas arestas do lado oposto à luz.

Cones 

Sombras, própria e projetada, de cones Nos cones, a sombra projetada e a sombra própria estão intimamente ligadas através do método das tangentes. Para construir a sombra, começa-se por determinar a sombra projetada da base (que será uma circunferência ou elipse) e a sombra do vértice. A partir da sombra do vértice, traçam-se duas retas tangentes à sombra da base. O contorno formado por estas tangentes e pela base define a sombra projetada final. Para encontrar a sombra própria, determinam-se os pontos exatos de tangência na base; unindo esses dois pontos ao vértice do cone em 3D, obtemos as duas geratrizes de tangência. Estas geratrizes formam a Linha Separatriz, limitando com precisão a zona da superfície lateral do cone que não recebe luz direta.

O teu objetivo: Usar o compasso para a base e achar as tangentes a partir da sombra do vértice.

1. Sombra da Base: Acha a sombra do centro da base. Com o compasso nesse ponto, desenha a sombra da base (se o círculo estiver paralelo ao plano de projeção, a sombra é um círculo igual; se não, tens de desenhar uma elipse de sombra).

2. Sombra do Vértice: Determina a sombra do vértice do cone (Vs​).

3. Sombra Projetada (As Tangentes): A partir de Vs​, usa a régua para traçar duas linhas que toquem apenas "de raspão" (tangentes) no círculo/elipse da sombra da base. O espaço dentro desse "cone de sombra" é a tua sombra projetada.

4. Sombra Própria (Geratrizes de Tangência): Marca os pontos exatos onde as tuas linhas tangentes tocaram na sombra da base. Agora, "puxa" esses pontos de volta para a base real do cone (usando raios luminosos inversos a 45º). A partir desses pontos na base real, sobe duas linhas até ao vértice V original. Estas são as geratrizes da linha separatriz. Sombreia a barriga do cone que fica entre elas!

Cilindros 

Sombras, própria e projetada, de cilindros Nos cilindros, a sombra projetada obtém-se determinando primeiro a sombra dos centros das duas bases. Com esses centros, desenham-se as sombras das bases (que assumem forma circular ou elíptica, dependendo dos planos). De seguida, traçam-se duas linhas tangentes que unem as extremidades das sombras das duas bases (estas linhas serão sempre paralelas à sombra do eixo do cilindro). Este conjunto define a envolvente da sombra projetada. Para apurar a sombra própria, transferem-se os pontos de tangência para as bases originais do sólido. As duas linhas que unem esses pontos ao longo da superfície lateral são as geratrizes da Linha Separatriz, dividindo com exatidão a parte iluminada da parte em sombra do cilindro.

O teu objetivo: Desenhar as sombras das duas bases e uni-las com linhas paralelas.

1. Sombra das Bases: Encontra as sombras dos centros da base superior e inferior. Desenha as circunferências ou elipses de sombra para ambas as bases.

2. Sombra do Eixo (Ajudante): Une a sombra do centro da base inferior à sombra do centro da base superior. Esta linha (sombra do eixo) vai dar-te a inclinação correta das tangentes.

3. Sombra Projetada: Puxa duas linhas tangentes às extremidades dos dois círculos/elipses de sombra. Estas duas linhas têm de ser estritamente paralelas à sombra do eixo que desenhaste no passo anterior. A mancha total é a sombra projetada.

4. Sombra Própria: Identifica os 4 pontos de tangência nas sombras das bases. Fá-los regressar às bases reais do cilindro com raios luminosos inversos. Une os pontos da base de cima aos da base de baixo. Tens as tuas geratrizes de separação luz/sombra. Sombreia essa parte do cilindro.